Polinomios con raíces complejas
El teorema fundamental del Álgebra nos asegura que cualquier polinomio con coeficientes de número real puede factorizarse completamente sobre el campo de los números complejos .
En el caso de los polinomios cuadráticos , las raíces son complejas cuando el discriminante es negativo.
Ejemplo 1:
Factorice completamente, usando números complejos.
Primero, factorice una x .
Ahora use la
fórmula cuadrática
para la expresión dentro del paréntesis, para encontrar los valores de
x
para los cuales
.
Aquí a = 1, b = 10 y c =169.
Escriba la raíz cuadrada usando números imaginarios.
Ahora sabemos que los valores de x para los cuales la expresión
es igual a 0 son
.
Así, el polinomio original puede factorizarse como
Puede verificar esto usando el FOIL .
Algunas veces, puede factorizar un polinomio usando números complejos sin usar la fórmula cuadrática. Por ejemplo, la regla de la diferencia de cuadrados :
Esto también puede ser usado con números complejos cuando
es negativa, como sigue:
Ejemplo 2 :
Factorice completamente, usando números complejos.
Primero, factorice
.
Ahora, use la regla de la diferencia de cuadrados para factorizar
.
Por lo tanto,
.
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