Función cuadrática

La forma general de una función cuadrática es f ( x ) = ax ² + bx + c . La gráfica de una función cuadrática es una parábola , un tipo de curva de 2 dimensiones.

La parábola "básica", y = x ² , se ve así:

La función del coeficiente a en la ecuación general es de hacer la parábola "más amplia" o "más delgada", o de darle la vuelta (si es negativa):

Si el coeficiente de x ² es positivo, la parábola abre hacia arriba; de otra forma abre hacia abajo.

El vértice

El vértice de una parábola es el punto en la parte baja de la forma "U" (o la superior, si la parábola abre hacia abajo).

La ecuación para una parábola también puede escribirse en la "forma vértice":

y = a ( x – h ) ² + k

En esta ecuación, el vértice de la parábola es el punto ( h , k ).

Puede ver como esto se relaciona a la ecuación estándar al multiplicarla:

y = a ( x – h )( x – h ) + k

y = ax ² – 2 ahx + ah ² + k

El coeficiente de x aquí es – 2 ah . Esto significa que en la forma estándar, y = ax ² + bx + c , la expresión

nos da la coordenada en x del vértice .

Aquí, a = 3 y b = 12. Así, la coordenada en x del vértice es:

Sustituyendo en la ecuación original para obtener la coordenada en y , obtenemos:

y = 3(–2) ² + 12(–2) – 12

= –24

Así, el vértice de la parábola esta en ( – 2, – 24).

El eje de simetría

El eje de simetría de una parábola es la recta vertical a través del vértice. Para una parábola en la forma estándar, y = ax ² + bx + c , el eje de simetría tiene la ecuación

Dese cuenta que – b /2 a es también la coordenada en x del vértice de la parábola.

Aquí, a = 2 y b = 1. Así, el el eje de simetría es la recta vertical

Intercepciones

Puede encontrar la intercepción en y de una parábola simplemente al introducir 0 para x . Si la ecuación esta en la forma estándar, entonces Usted solo toma a c como la intercepción en y . Por ejemplo, en el ejemplo anterior:

y = 2(0) ² + (0) – 1 = –1

Así la intercepción en y es – 1.

Las intercepciones en x son un poco más complicadas. Puede usar la factorización , o completar el cuadrado , o la fórmula cuadrática para encontrar estas (si es que existen!).

Dominio y rango

Como con cualquier función, el dominio de función cuadrática f ( x ) es el conjunto de los valores de x para los cuales la función esta definida, y el rango es el conjunto de todos los valores de salida (valores de f ).

Las funciones cuadráticas generalmente tienen la recta real de enteros como su dominio: cualquier x es una entrada legítima. El rango esta restringido a esos puntos mayores que o iguales a la coordenada en y del vértice (o menores que o iguales a, dependiendo si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo).