Factorizar
Puede usar la ley distributiva para ver que
3(4 n + 5) = 12 n + 15,
y puede usar el FOIL para ver que
( n + 2)( n + 3) = n 2 + 5 n + 6.
Pero como puede iniciar con la respuesta y encontrar los factores?
Factorizando x 2 + bx + c cuando b y c son positivos
Ejemplo 1:
Factorice n 2 + 8 n + 15.
Esto puede ser hecho (factorizado) al encontrar dos números cuya suma es 8 y el producto es 15: use 3 y 5. Así obtenemos:
n 2 + 8 n + 15
= n 2 + 3 n + 5 n + 15 . . . . ahora factorice los factores comunes en parejas
= n ( n + 3) + 5( n + 3) . . . . use la Propiedad Distributiva
= ( n + 5)( n + 3) . . . . . . . el término ( n + 3) fue el factor común!
Ejemplo 2:
Factorice x 2 + 37 x + 100.
Necesitamos dos números cuyo producto es 100 y la suma es 37.
100 = (100)(1); 100 + 1 = 101
100 = (50)(2) ; 50 + 2 = 52
100 = (25)(4) ; 25 + 4 = 29
100 = (20)(5) ; 20 + 5 = 25
100 = (10)(10); 10 + 10 = 20.
Parece ser que 37 nunca saldrá como suma, así x 2 + 37 x + 100 no puede ser factorizada (esto es, es un polinomio irreducible).
Pero puede ver como factorizaría x 2 + 29 x + 100?
Factorizando x 2 + bx + c cuando b es negativa, c es positiva
En este caso, necesita dos números negativos, para que su producto sea positivo pero su suma sea negativa.
Ejemplo 3:
Factorice x 2 – 7 x + 10.
Las parejas de factores negativos para 10 son:
10 = (–10)(–1) ; –10 – 1 = –11
10 = (–5)(–2) ; –5 – 2 = –7
Así el polinomio puede factorizarse como
x 2 – 7 x + 10 = ( x – 2)( x – 5).
Factorizando x 2 + bx + c cuando c es negativa
En este caso, necesita dos números con signos opuestos (para que su producto sea negativo).
Ejemplo 4:
Factorice x 2 + 6 x – 16.
Aquí necesitamos encontrar dos números con signos opuestos que tengan a –16 como un producto y a 6 como una suma.
Las parejas de factores para –16 son:
–16 = (–16)(1) ; –16 + 1 = –15
–16 = (–8)(2) ; –8 + 2 = –6
–16 = (–4)(4) ; –4 + 4 = 0
–16 = (–2)(8) ; –2 + 8 = 6
–16 = (–1)(16); –1 + 16 = 15
–2 y 8 funcionan. Así podemos factorizar el polinomio como
x 2 + 6 x – 16 = ( x – 2)( x + 8).
Ejemplo 5:
Factorice x 2 – x – 20.
Aquí necesitamos encontrar dos números con signos opuestos que tengan a –20 como un producto y –1 como una suma.
Las parejas de factores para –20 son:
–20 = (–20)(1) ; –20 + 1 = –19
–20 = (–10)(2) ; –10 + 2 = –8
–20 = (–5)(4) ; –5 + 4 = –1
–20 = (–4)(5) ; –4 + 5 = 1
–20 = (–2)(10) ; –2 + 10 = 8
–20 = (–1)(20) ; –1 + 20 = 19
–5 y 4 funcionan. Así podemos factorizar el polinomio como
x 2 – x – 20 = ( x – 5)( x + 4).
Factorizando ax 2 + bx + c , a ≠ 1
Las cosas se complican un poco más en este caso. Necesitamos encontrar dos números cuyo producto es igual al producto del coeficiente principal y a la constante y cuya suma sea igual al coeficiente del término x.
Ejemplo:
Factorice 14 x 2 – 37 x + 5.
Multiplique el coeficiente principal por la constante
(14)(5) = 70
Encuentre las parejas de factores que multiplicados dan 70 y sumados dan –37.
–2 y –35
Reemplace por el término de enmedio.
14
x
2
– 2
x
– 35
x
+ 5
Factorice los factores comunes en parejas y use la Propiedad Distributiva.
(14 x 2 – 2 x ) – (35 x – 5 )
2
x
(7
x
– 1) – 5(7
x
– 1 )
De nuevo, use la Propiedad Distributiva.
(7 x – 1)(2 x – 5)
