Triángulo de Yang Hui (Triángulo de Pascal)

El triángulo de Yang Hui es un arreglo triangular especial de números usados en muchas áreas de las matemáticas. En Asia, fue llamado así por el famoso matemático chino del siglo 13 Yang Hui, uno de los primeros en describir sus propiedades; en Europa es a menudo llamado así en honor del matemático francés del siglo 17 Blaise Pascal. Incluso antes de Yang Hui, este arreglo triangular de números fue descrito por el poeta y matemático árabe Omar Khayyam (c 1044-1123) y el matemático hindú Halayudha en 975.

En la parte superior del triángulo está un 1, que hace el renglón 0 ^th . El 1 ^er renglón (1, 1) contiene dos 1s cada uno formado por la suma de los dos números arriba de ellos, uno a la izquierda y uno a la derecha, en este caso 0 y 1. (Todos los números fuera del triángulo son 0s.) Haga lo mismo para crear el 2 ^do renglón; 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2, 1 + 0 = 1 y todos los renglones subsecuentes.

     Un número en el triángulo puede ser encontrado usando _n C _r ( n combinación de r ), donde n es el número de renglones y r es el número de los elementos en ese renglón.    Esto es especialmente útil para encontrar un término particular en el desarrollo de un binomio de la forma ( x + y ) ⁿ .

Suma de renglones:  La suma de los números en cualquier renglón es igual a 2 ⁿ , donde n es el número del renglón.

     2 ⁰ = 1 = 1
     2 ¹ = 2 = 1 + 1
     2 ² = 4 = 1 + 2 + 1
     2 ³ = 8 = 1 + 3 + 3 + 1
     2 ⁴ = 16 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 etcétera.

Números primos: Si el primer elemento en un renglón es un número primo (recuerde que el primer 1 en cualquier renglón es el elemento 0 ^th .) todos los números en ese renglón (excluyendo los 1s) son divisible entre el.

     Por ejemplo en el 7 ^to renglón (1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1) 7, 21, 35 son divisibles entre 7.

En Álgebra, cada renglón en el triángulo de Yang Hui contiene los coeficientes del binomio ( x + y ) elevado a la potencia del renglón.

     ( x + y ) ⁰ = 1

     ( x + y ) ¹ = 1 x + 1 y

     ( x + y ) ² = 1 x ² + 2 xy + 1 y ²

     ( x + y ) ³ = 1 x ³ + 3 x ² y + 3 xy ² + 1 y ³    

     ( x + y ) ⁴ = 1 x ⁴ + 4 x ³ y + 6 x ² y ² + 4 xy ³ + 1 y ⁴ etcétera.

Otra área mayor donde el triángulo de Yang Hui se muestra y es muy útil, es en probabilidad donde puede ser usado para encontrar combinaciones .

Patrones de números interesantes:

     Muchos patrones de números interesantes pueden ser encontrados en el triángulo. Incluidos están la secuencia Fibonacci , los números triangulares y cuadrados (encontrados en las diagonales iniciando en el renglón 3.) y los números poligonales.

     Otra conexión interesante es con el triángulo Sierpinski. Cuando todos los números impares en el triángulo de Yang Hui son colocados y los pares se dejan en blanco, el triángulo recursivo Sierpinski fractal es revelado.

    Cada uno de estos temas fascinantes justifican investigación adicional de su parte.