Relaciones equivalentes
Suponga que tiene una receta destinada para alimentar a 5 personas, pero necesita alimentar a 10 personas. Cómo cambiará la receta? Necesitará duplicar cada una de las cantidades. Del mismo modo, si necesita alimentar 15 personas, necesitará triplicar cada una de las cantidades. Pero las relaciones de los ingredientes permanecerán igual no importando cuanta gente necesite alimentar. Esto es, las relaciones son equivalentes.
Considere las relaciones 2:5 y 4:10. La segunda relación se obtiene al multiplicar cada número de la primera relación por 2. Así, estas son equivalentes.
Si Usted considera dos relaciones como fracciones, estas son equivalentes si sus productos cruzados son iguales.
Considere la tabla de multiplicación mostrada.
La relación del primero y último número es la misma en cualquiera de las filas. Esto es,
.
Los productos cruzados de cualesquieras dos relaciones son iguales. Por ejemplo, tomando la primera y última relaciones,
. Por lo tanto, las relaciones son equivalentes.
Ahora, considere el graficar los números en esas relaciones en un plano coordenado , con los numeradores a través del eje de las x y los denominadores a través del eje de las y . La recta que une los puntos graficados pasará a través del origen.
En general, si la recta que une dos puntos en un plano coordenado pasa a través del origen, entonces las relaciones de las coordenadas de los puntos son equivalentes. Usted puede también decir que las coordenadas de los puntos están en proporción.
Ejemplo 1:
Compruebe si las relaciones
y
son equivalentes.
Divida cada número en la segunda relación entre el factor común más grande , 25 para simplificar.
Por lo tanto, las relaciones son equivalentes.
Puede verificar que los productos cruzados de las relaciones son iguales.
Ejemplo 2:
Steve hizo 8 problemas de tarea el Sábado en 32 minutos y 13 problemas el Domingo en 52 minutos. Determine si el hizo la misma relación en ambos días.
Considere las relaciones del número de problemas al tiempo realizado. Las relaciones son
y
.
Cuando Usted considera las fracciones correspondientes, ambos productos cruzados
y
son iguales a 416, así las relaciones son equivalentes.
Por lo tanto, Steve hizo la misma relación en ambos días.
Dese cuenta que si hubiera graficado el número de problemas en el eje de las x y el tiempo tomado en el eje de las y , la recta que une los puntos graficados (8, 32) y (13, 52) pasaría a través del origen.
Ejemplo 3:
Considere la tabla mostrada.
Forman las parejas en cada fila relaciones equivalentes?
Grafique los puntos en un plano coordenado con los números de la primera columna en el eje de las x y aquellos en la segunda columna a través del eje de las y . Dibuje una línea recta uniendo los puntos graficados.
La recta que une los puntos graficados no pasa a través del origen. Por lo tanto, las relaciones no son equivalentes.
