Pi

Definición: Pi es la relación de la circunferencia , C , al diámetro , d , de cualquier círculo. La relación es la misma para cualquier círculo.

El símbolo para Pi es π.

Pi es un número irracional que significa que no tiene una fracción exacta o decimal equivalente. En algebra, las aproximaciones más comúnmente usadas son 22/7 y 3.14. Es importante que estos valores no sean iguales a π.

Pi es un valor teórico exacto; la busqueda para una aproximación decimal precisa ha llevado miles de años, pero incluso la modesta de 15 lugares de precisión, 3.141592653589793, fue conocida hasta 1593! Hoy día, con el uso de supercomputadoras la precisión puede ser calculada con millones de lugares decimales. A continuación están los primeros 400.

 In:
 N[Pi, 400]
 Out:
 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510
   58209749445923078164062862089986280348253421170679
   82148086513282306647093844609550582231725359408128
   48111745028410270193852110555964462294895493038196
   44288109756659334461284756482337867831652712019091
   45648566923460348610454326648213393607260249141273
   72458700660631558817488152092096282925409171536436
   7892590360011330530548820466521384146951941511609 . . .

Aquí se menciona algo de la historia de π, para estudiantes avanzados y/o interesados:

La tabla siguiente da una lista corta de aproximaciones comunes usadas (y mal usadas) para π , junto con su inventor/descubridor.

Fracción o expresión	Origen y fecha aproximada	valor decimal	error con respecto a π verdadera
3	Viejo Testamento (2500 años atrás) y Estado de Indiana (1900's)	3.00000000000...	0.1415926535...
256/81	Valor egipcio (Papiro Rhind, 3600 años atrás)	3.16049382716...	0.0189011735...
3.14	Aproximación común moderna	3.14	0.00159265...
22/7	Arquímedes (2500 años atrás)	3.142857142857...	0.00126449...
355/113	Tsu Ch'ung-chih (1500 años atrás)	3.141592920353...	0.0000002667...
√10	Los 'Circle Squarers' (Siglo 8)	3.162277660168...	0.0206850065...
31 ^1/3	Baskin Robbins	3.14138065239139...	0.000212001198...
4 – 4/3 + 4/5 – 4/7 + ...	Fórmula arctangente (1671)	3.1415926535897932...	0.0000000... Exacto!

Después del descubrimiento de arctan x = x – ( x ³ )/3 + ( x ⁵ )/5 – ( x ⁷ )/7 + . . . , hubo una oleada de cálculos, todos con pizarras, gises, plumas, pergaminos, palos, arena; sin calculadoras de bolsillo o incluso reglas de calculo al principio.

La serie más obvia es si x = 1 ; entonces

arctan 1 = π/4 = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + . . . ;

una pequeña gran fórmula pero toma miles de términos solo para obtener 3 o 4 lugares de precisión para π .

Ahora si se da cuenta que

π/4 = 2 arctan(1/3) + arctan(1/7)

= 2/3 – 2/(3 · 3 ³ ) + 2/(5 · 3 ⁵ ) – . . . + 1/7 – 1/(3 · 7 ³ ) + 1/(5 · 7 ⁵ ) – . . .