Parábolas como secciones cónicas
Una parábola es la curva formada por la intersección de un plano y un cono, cuando el plano esta en la misma inclinación como el lado del cono.
Una parábola también puede ser definida como el conjunto de todos los puntos en un plano que esta a una distancia igual de un punto dado (llamado el foco de la parábola) y una recta dada (llamada la directriz de la parábola).
En álgebra básico, usualmente consideramos solamente parábolas cuyo eje de simetría es vertical. Las ecuaciones para estas curvas están en la forma general
y = ax 2 + bx + c ,
donde a , b y c son constantes.
La forma estándar de la ecuación de una parábola con un vértice en (0, 0) es como sigue.
| Ecuación | Foco | Directriz | |
| x 2 = 4 py | (0, p ) | y = – p | Eje Vertical ( x = 0) |
| y 2 = 4 px | ( p , 0) | x = – p | Eje Horizontal ( y = 0) |
Ejemplo 1:
Encuentre el foco y la directriz de la parábola
.
Ya que el término en x esta elevado al cuadrado, el eje es vertical, y la forma estándar es
Reescriba la ecuación en la forma estándar:
Comparando la ecuación con la forma estándar:
El foco de la parábola que esta en la forma estándar
, es (0,
p
).
Así, el foco de la ecuación es
.
La directriz de la parábola que esta en la forma estándar
, es
y
= –
p
.
Así, la directriz de la ecuación es
.
Ejemplo 2:
Grafique la ecuación y luego encuentre el foco y la directriz de la parábola y 2 = –3 x .
La ecuación es de la forma y 2 = 4 px donde 4 p = –3.
Resolviendo para p :
El foco de la parábola que esta en la forma estándar y 2 = 4 px , es ( p , 0).
Así, el foco de la ecuación es
.
La directriz de la parábola que esta en la forma estándar y 2 = 4 px , es x = – p .
Así, la directriz de la ecuación es
.
Ya que la variable y esta elevada al cuadrado, el eje de simetría es horizontal. También el valor de p es menor que 0, entonces la parábola abre hacia la izquierda.
Escoja valores negativos de x y haga una tabla.
Grafique los puntos y dibuje una parábola a traves de los puntos.
Vea también graficando ecuaciones cuadráticas .
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