Más sobre las hipérbolas
Una
hipérbola
es el conjunto de todos los puntos
P
en el plano tal que la diferencia entre las distancias desde
P
a dos puntos fijos es una constante dada. Cada uno de los puntos fijos es un
foco
. (El plural es focos.) Si
P
es un punto en la hipérbola y los focos son
F
1
y
F
2
entonces
y
son los
radios focales
. Como puede ver, la gráfica de la hipérbola tiene dos ramales desconectados que se ven similares a las parábolas. Cada ramal se acerca en
asíntotas
diagonales.
El centro de una hipérbola es el punto medio del segmento de línea uniendo sus focos. El eje transversal es el segmento de línea que contiene el centro de la hipérbola y cuyos puntos finales son los dos vértices de la hipérbola.
Una hipérbola central, una con su centro en el origen y sus focos ya sea en el eje de las x o en el eje de las y tiene una de las dos fórmulas siguientes. Dese cuenta que a 2 es el denominador del término positivo en cada caso.
La hipérbola con su centro en (0, 0), focos en ( c , 0) y (– c , 0) y la diferencia de los radios focales 2 a tiene la ecuación
Las ecuaciones de las asíntotas son
Dese cuenta que la hipérbola tendrá las intercepciones en x o las intercepciones en y pero nunca ambas.
La hipérbola con su centro en (0, 0), focos en (0,
c
) y (0, –
c
), entonces la ecuación es
Las ecuaciones de las asíntotas son
Ejemplo:
Encuentre una ecuación de la hipérbola que tiene sus focos en (3, 0) y (–3, 0) y la diferencia de los radios focales igual a 4 si su centro está en el origen.
La distancia de cada foco al centro es 3, así c = 3.
La diferencia de los radios focales es 2 a . Así, 2 a = 4 y a = 2.
b 2 = c 2 – a 2 , así b 2 = 3 2 – 2 2 = 9 – 4 = 5
Ya que los focos están en el eje de las
x
, la ecuación es
.
Ejemplo:
Para el ejemplo anterior, encuentre las ecuaciones de sus asíntotas y grafique la hipérbola.
Las ecuaciones de las asíntotas son
Las intercepciones en x son (2, 0) y (–2, 0). No hay intercepciones en y .
La gráfica de una hipérbola puede ser traducida para que su centro esté en el punto ( h, k ). Esto significa que la gráfica ha sido traducida a h unidades en el eje horizontal y a k unidades en el eje vertical.
Eje mayor horizontal Eje mayor vertical
Los focos en ( h – c, k ) y ( h + c, k ) Los focos en ( h, k – c ) y ( h, k + c )
Ejemplo:
Encuentre una ecuación de la hipérbola con focos en (–3, –2) y (–3, 8) y la diferencia de los radios focales de 8.
La diferencia de los radios focales, 2 a , es 8. Así, 2 a = 8 y a = 4.
El centro está a la mitad entre los focos en (–3, 3).
La distancia del centro a cada foco es 5 así c = 5.
b 2 = c 2 – a 2 = 5 2 – 4 2 = 25 – 16 = 9
Por lo tanto, la ecuación de la hipérbola es
Una hipérbola también puede ser definida como una sección cónica obtenida por la intersección de un cono doble con un plano que intersecta ambas piezas del cono sin intersectar el eje.
