Encontrando la ecuación de una parábola dado su foco y su directriz

Dado el foco y la directriz de una parábola , como encontramos la ecuación de la parábola?

Si consideramos solamente las parábolas que abren hacia arriba o hacia abajo, entonces la directriz será una recta horizontal de la forma y = c .

Digamos que ( a , b ) es el foco y digamos que y = c es la directriz. Digamos que ( x ₀ , y ₀ ) es cualquier punto en la parábola.

Cualquier punto, ( x ₀ , y ₀ ) en la parábola satisface la definición de parábola, así que hay dos distancias para calcular:

1. Distancia entre el punto en la parábola al foco
2. Distancia entre el punto en la parábola a la directriz

Para encontrar la ecuación de la parábola, iguale esas dos expresiones y resuelva para y ₀ .

Encuentre la ecuación de la parábola en el ejemplo anterior.

Distance entre el punto ( x ₀ , y ₀ ) y ( a , b ):

Distance entre el punto ( x ₀ , y ₀ ) y la recta y = c :

(Aquí, la distancia entre el punto y la recta horizontal es la diferencia de sus coordenadas en y .)

Iguale las dos expresiones.

Eleve al cuadrado ambos lados.

Desarrolle la expresión en y ₀ en ambos lados y simplifique.

Esta ecuación en ( x ₀ , y ₀ ) es verdadera para todos los otros valores en la parábola y por lo tanto podemos reescribirla con ( x , y ).

Por lo tanto, la ecuación de la parábola con foco ( a , b ) y directriz y = c es