Números y polinomios relativamente primos
Se dice que dos números son relativamente primos si su factor común más grande ( FCG ) es 1.
Ejemplo 1:
Los factores de 20 son 1, 2, 4, 5, 10 y 20.
Los factores de 33 son 1, 3, 11, y 33.
El único factor común es 1. Así, el FCG es 1.
Por lo tanto, 20 y 33 son relativamente primos.
Ejemplo 2:
Los factores de 45 son 1, 3, 5, 9, 15, y 45.
Los factores de 51 son 1, 3, 17, y 51.
El factor común más grande aquí es 3.
Por lo tanto, 45 y 51 no son relativamente primos.
La definición puede ser extendida a los polinomios . En este caso, no debe haber variable común o factores polinomiales, y los coeficientes escalares deben tener un FCG de 1.
Ejemplo 3:
El polinomio 3 x 2 + 21 x + 18 puede ser factorizado como
3 x 2 + 21 x + 18 = 3( x + 1)( x + 6).
El polinomio 5 x + 10 puede ser factorizado como
5 x + 10 = 5( x + 2).
3 y 5 son relativamente primos, y ninguno de los factores del binomio se comparten. Así, los dos polinomios
3 x 2 + 21 x + 18 y 5 x + 10
son relativamente primos.
Ejemplo 4:
El polinomio x 2 + 3 x – 4 puede ser factorizado como
x 2 + 3 x – 4 = ( x + 1)( x – 4).
El polinomio 3 x 2 + 21 x + 18 puede ser factorizado como
3 x 2 + 21 x + 18 = 3( x + 1)( x + 6).
Los dos polinomios comparten un factor binomial:
(
x
+ 1).
Así
x 2 + 3 x – 4 y 3 x 2 + 21 x + 18
no son relativamente primos.
